第十五章压杆稳定问题

发布时间:2021-06-18 14:50:51

材料力学(工程力学部分)
第 15 章 压杆稳定问题

第15章 压杆稳定问题
1. 压杆稳定性的概念 2.两端铰支细长压杆的临界载荷 3.两端非铰支细长压杆的临界载荷 4. 中小柔度杆的临界应力 5. 压杆稳定条件与合理设计

1. 压杆稳定性的概念

构件的承载能力:

①强 度 ②刚 度 ③ 稳定性

工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全 可靠地工作。

1. 压杆稳定性的概念 P

1. 压杆稳定性的概念 工程中的稳定性问题

液压缸顶杆
压杆 压杆
桁架中的压杆

1. 压杆稳定性的概念
工程中的稳定性问题
液压缸 顶杆

1. 压杆稳定性的概念
工程中的稳定性问题
火箭发射架中的压杆

1. 压杆稳定性的概念
工程中的稳定性问题

受压的支撑杆

高压输电线路保持相 间距离的受压构件

1. 压杆稳定性的概念
压杆稳定性实验

1. 压杆稳定性的概念
稳定*衡与不稳定*衡 :
1. 不稳定*衡

1. 压杆稳定性的概念
2. 稳定*衡

1. 压杆稳定性的概念
3. 稳定*衡和不稳定*衡

1. 压杆稳定性的概念
压杆失稳与临界压力 :
1 压杆的稳定*衡与不稳定*衡:
稳 定 * 衡
不 稳 定 * 衡

1. 压杆稳定性的概念 F
k l

F δ kδ

F δ<k δl F δ>k δl F δ= k δl

F <k l 稳定*衡 F >k l 不稳定*衡
F = k l 临界状态

1. 压杆稳定性的概念
2 压杆失稳:
3 压杆的临界压力

临界状态



对应的

定过



*



压力

不 稳 定 * 衡

临界压力: F=Fcr

F<Fcr稳定*衡

F>Fcr不稳定*衡

2.两端铰支细长压杆的临界载荷
临界载荷的欧拉公式

假定压力已达到临界值,杆已经处于微弯状

态,如图, 从挠曲线入手,求临界力。

F x

F ①弯矩:M(X)=-Fw ②挠曲线*似微分方程:

w

M

F

F

EIw" ? M(x) ? ?Fw w" ? P w ? 0
EI

x 其中:k 2 ? F EI

w" ? k2w ? 0

2.两端铰支细长压杆的临界载荷

③微分方程的解: w ? Asin kx ? Bcoskx

④确定积分常数: w(0) ? w(L) ? 0

即:??? AA?s i0n?kBL??0Bc osk L?0

0

1

?

?0

sinkL coskL

B=0

? k ? n? ? F

? sinkL?0

L EI

2.两端铰支细长压杆的临界载荷
临界力 Fcr 是微弯下的最小压力,故, 只能取n=1 ;且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。

?

Fcr

?

? 2 EImin
L2

两端铰支压杆临界力的欧拉公式

2.两端铰支细长压杆的临界载荷
欧拉公式的应用条件:
1.理想压杆; 2.线弹性范围内; 3.两端为球铰支座。

3.两端非铰支细长压杆的临界载荷

其它支承情况下,压杆临界力的欧拉公式

Fcr

? ? 2 EImin (? L)2

压杆临界力欧拉公式的一般形式

?—长度系数(或约束系数)
?l —称为相当长度

3.两端非铰支细长压杆的临界载荷
例 一端固定另端铰支

B

Fcr

?

? 2EI
(0.7l)2

0.7l

C

μ?0.7

C— 挠曲线拐点

3.两端非铰支细长压杆的临界载荷
各种支承约束下等截面细长压杆临界力的长度系数

两端铰支
?=1.0

一端自由, 一端固定
?=2.0

一端铰支, 两端固定
一端固定 ?=0.5 ?=0.7

3.两端非铰支细长压杆的临界载荷

例 求下列细长压杆的临界力。
y y

z

h

x

z

L1

b

解①绕

L2

y

轴,两端铰支:?=1.0,

I

y

?b3h 12

,

Fcry

?

? 2EI y
L22

②绕 z 轴,左端固定,右端铰支:

?=0.7,

bh3 I z ? 12

,

Fcrz ?

? 2EI
(0.7L1

z
)2

③压杆的临界力 Fcr ? min(Fcry , Fcrz )

4. 中小柔度杆的临界应力
问题的提出:4根材料和直径相同,但是 长度不同、支承不同的压杆
能不能应用欧 拉公式计算四根压 杆的临界载荷?
四根压杆是不是 都会发生弹性屈曲?

4. 中小柔度杆的临界应力
基本概念

临界应力:压杆处于临界状态时横截面上

的*均应力。

? cr

?

Fcr A

细长压杆的临界应力:

? cr

?

Fcr A

?

? 2EI (?L)2 A

?

? 2E (?L / i)2

?

? 2E ?2

4. 中小柔度杆的临界应力

即:? cr

?

? 2E ?2

i? I ——惯性半径。 A

柔度:

???L ——杆的柔度(或长细比)
i

4. 中小柔度杆的临界应力

大柔度杆的分界:

? cr???22E?? P

??

? 2E ?P

??P

当 ? ? ?P 细长杆,其临界应力用欧拉公式计算,

? ? ?P

为中小柔度杆,其临界应力不能用 欧拉公式计算

4. 中小柔度杆的临界应力

中小柔度杆的临界应力计算

1.直线型经验公式

①?P<?<?S 时: ? cr ?a?b?

?? cr ?a?b??? s

??

?

a ??s
b

? ?0

? ? ? ? ? 0

P 中柔度杆,应力用经验公式计算

4. 中小柔度杆的临界应力

②?S<? 时: ? cr ?? s

? cr

? ? ?0 小柔度杆,临界应力为屈服应力

?S

? cr ?a?b?

?P

? ? ? 2E

cr

?2

? a?0?? s
b

?P ? ? 2E
?P

???L
i
③临界应力总图

4. 中小柔度杆的临界应力

抛物线型经验公式
①?P<?<?s 时: ? cr ?a1?b1?2

我国建筑业常用:

? cr

?

?

s

? ?1 ??

?

?

? ?

? ?c

2? ?? ? ??

对于A3钢、A5钢和16锰钢:? ?0.43,?c ?

? 2E 0.56? S

???c 时,由此式求临界应力 。

②?s<? 时: ? cr ? ? s

5.压杆稳定条件与合理设计

一、压杆的稳定条件:

Fn F ?

cr ? [Fst ]
st

n

?

F cr F

n ? st

nst 稳定安全系数

[Fst ] 稳定许用压力

二、压杆的稳定容许应力:

安全系数法确定容许应力:

?

? ? cr
nst

? [? st ]

5.压杆稳定条件与合理设计
二 折减系数法
??st ? ? ? ?? ?
??折减系数 , 它是?的函数。
稳定条件是
? ???? ?

5.压杆稳定条件与合理设计
三 压杆的合理设计 1 压杆的合理设计
2 合理选择截面 Imin?Imax
3 合理选择选择压杆的约束与杆的长度,
使 ???L 大
i

5.压杆稳定条件与合理设计

例 图示起重机, AB 杆为圆松木,长 L= 6m,[? ]

=11MPa,直径为: d = 0.3m,试求此杆的容许压力。 B 解:折减系数法

①最大柔度

T1

x y面内,?=1.0

T2

A

W

?

x

y

?

?L
i

?1?6?4 0.3

?80

y

z y面内, ?=2.0

O z

x

?zy

?

?L
i

?

2?6?4 0.3

?160

5.压杆稳定条件与合理设计

②求折减系数

木杆:? ?160时, ? ? 0.117

③求容许压力
??st ? ? ? ?? ?

?F? st

?

ABC

?? st

?

? ? ?0.32 ?0.117?11?106 ? 91kN
4

5.压杆稳定条件与合理设计


正视图 xy*面
俯视图 xz*面

已知:b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢 E=205 GPa, FP=150 kN, [n]st=1.8 校核: 稳定性是否安全。

5.压杆稳定条件与合理设计

?z=?z l / iz ,
Iz=bh3/12

解:压杆在正视图*面 内,两端约束为铰支,屈 曲时横截面将绕 z 轴转 动:x y*面

iz ?

Iz A

?z=132.6

5.压杆稳定条件与合理设计

压杆在俯视图*面内, 两端约束为固定端,屈曲 时横截面将绕 y 轴转动: x、z*面

?y=?y l / iy ,

iy ?

Iy A

Iy=hb3/12

?y=99.48

因此,压杆将在正视图*面内屈曲(弯曲)。

?z=132.6 > ?y=99.48 而且?z=132.6 > ?p=100

5.压杆稳定条件与合理设计

因此,压杆将在正 视图*面内屈曲。

?z=?z l / iz ,

?z > ?p应用欧拉公式

FPcr

(

z)

?

?

cr

A

?

π

2E
?2



d2 4

? 276.2kN

工作安全因数 :

nw

? ? cr ? wr

?

FPcr FP

?

276.2 150

? 1.834

5.压杆稳定条件与合理设计

工作安全因数 :

nw

? ? cr ? wr

?

FPcr FP

?

276.2 150

? 1.834

nw> [n]st=1.8

压杆的稳定性是安全的

5.压杆稳定条件与合理设计

例 图示立柱,L=6m,由两根10号槽钢组成,下端固定,

上端为球铰支座,试问 a=?时,立柱的临界压力最

大,值为多少?

P

解:对于单个10号槽钢,形心在C1点。

A1?12.74c m2,z0 ?1.52c m,

I z1?198.3c m4 ,I y1?25.6c m4

a

两根槽钢图示组合之后,

L

C1 z I z ?2I z1?2?198 .3?396 .6cm4

z0

I y ?2[I y1?A1(z0?a/2)2 ]?

y y1 2?[25.6?12.74?(1.52?a/2)2]

5.压杆稳定条件与合理设计

由 198.3 ? 25.6 ?12.74(1.52 ? a / 2)2时合理
解得 a?4.32cm

求临界力:两个方向弯曲的临界力相等

???L? 0.7?6 ? 0.7?6 ?106.5

i

Iz

396.6?10?8

2?A1 2?12.74?10?4

5.压杆稳定条件与合理设计

?p ?

?2E ? ?P

? 2 ? 200?109
200 ?106

? 99.3

? ? ?p

大柔度杆,由欧拉公式求临界力。

Fcr

? ? 2EI (?l)2

?

? 2 ? 200? 396.6?10
(00.7 ? 6)2

? 443.8kN


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